APPENDIX I

VEKTORALGEBRA

Vektorrechnung   wird   formuliert,   um   mit   Vektoren   umzugehen,   d.h.,   Mengen   mit einem   Betrag   und   einer   Richtung.   Normale Algebra,   Geometrie   und Trigonometrie   sind wirksam,   wenn   man   mit   skalaren   Mengen   arbeitet,   das   sind   solche   mit   nur   einem Betrag,     die     aber     untauglich     sind,     wenn     man     mit     Vektoren     umgehen     muss. Vektorrechnung    ist    ein    wirksamer    Weg,    um    2D-    und    3D-Probleme    zu    lösen,    die Vektoren      beinhalten,      ohne      unhandliche      Geometrie      zu      gebrauchen.            Das elektromagnetische   (EM)   Feld   ist   ein   Vektorfeld   von   Kräften,   die   auf   geladene   Objekte einwirken.   Da   die   Kräfte   Vektormengen   sind   (Kräfte,   die   in   eine   verbundene   Richtung wirken), beinhalten die EM-Feldgleichungen Vektoren. Vektoralgebra    kann    für    kartesianische,    zylindrische    oder    sphärische    Koordinaten    formuliert    werden.    Die geeignete   Wahl   eines   Koordinatensystems   für   zylindrische   oder   sphärische   symmetrische   Probleme   vermeidet   das Aufkommen   nutzloser   Komplexität   durch   die   Nutzung   unangebrachter   Koordinatensysteme   und   zeigt   auch   klar   die Symmetrie der Lösung. Zwei   wichtige   Ergebnisse   der   Vektorrechnung   beinhalten   die   Multiplikation   der   Vektoren.   Vektoren   werden durch fetten Text angezeigt. Das   Punktprodukt    (oder   skalare   Produkt)      A ･ B    (lies A   punkt   B)   wird   definiert   als         ||AB||   cos(θ)   ,   wo A   und   B   die Beträge (numerische Werte) bezüglich der Vektoren A  und B  sind und  θ  der Winkel zwischen ihnen ist. Man   beachte,   dass   das   Punktprodukt   eine   skalare   Menge   (ein   einfacher   numerischer   Wert   [Größe]   ohne   eine verbundene   Richtung)   ist   und   sich   geometrisch   in   einer   einzelnen   Ebene   (d.h.   2D)   befindet.   Wenn   der   Winkel   zwischen den   Vektoren   >   90°   ist,   dann   ist   der   Skalar   negativ   (<0).   Wenn   zwei   Vektoren   vertikal   zueinander   stehen,   dann   ist   ihr Punktprodukt Null.

Das   Kreuzprodukt      A × B    (lies   “A   kreuz   B”)   ist   definiert   als   AB    sin(θ) a n ,      wo      a n        der   Einheitsvektor   senkrecht   zu der   Ebene   von      A   und   B   ist.      Man   beachte,   dass   das   Kreuzprodukt   von   zwei   Vektoren   auch   ein   Vektor   ist   und   seine Richtung   orthogonal   (vertikal)   zu   beiden, A   und   B   ist;   d.h.,   der   resultierende   Vektor   beinhaltet   eine   dritte   Dimension   im Vergleich zu der 2D-Ebene, die die ersten zwei Vektoren enthält. Die     Vektorrechnung     definiert     einen     anderen     wichtiger     Operator,     Del     ,     oder     Δ.     Del     steht     für     den Differentialoperator   D   in   der   Rechnung,   wobei   D   die   Operation      d/dx      vertritt.   Zwei   weitere   Ergebnisse,   die   D   nutzen, sind wichtig beim Analysieren von EM-Feldern. Δ ･ A    oder   div    A       ist   die   Divergenz       des   Vektorfeldes   A .   Die   Divergenz   ist   ein   Skalar   und   ist   ähnlich   zu   der Ableitung   einer   Funktion.   Wenn   die   Divergenz   einer   Region   eines   Vektorfeldes      nicht   Null         ist,   dann   wird   gesagt,   dass die   Region   Quellen    ( div    A >0)   oder   Ausgüsse   ( div    A <0)   des   Feldes   enthält.   Zum   Beispiel:   Eine   willkürlich   um   eine Oberfläche   geschlossene   Fläche   um   eine   isolierte   positive   Ladung   in   einem   statischen   elektrischen   Feld   enthält   die     Quelle        des    elektrischen    Flusses,    das    ist    die    positive    Punktladung;    deshalb    ist    die    Divergenz    des    elektrischen Flussdichtevektorfeldes   über   dieser   Oberfläche   positiv   und   entspricht   der   eingeschlossenen   Ladung.      Das   ist   das Gausssche Gesetz.  (siehe Anhang II, EM-Feldgleichungen ) Man   beachte,   dass   div    A    ein   Punktprodukt   beinhaltet   und   deshalb   von   den   Winkeln   abhängt.   Der   Winkel   ist gewöhnlich   der   zwischen   dem   analysierten   Vektor   und   der   Oberflächennormalen   [dem   senkrechten   Einheitsvektor   zu dem Oberflächenstück]. Δ× A    oder   rot   A    ist   die   Rotation       des   Vektorfeldes   A .   Die   rot    eines   Vektorfeldes   ist   ein   anderes   Vektorfeld, welches   die   Rotation   des   ersten   Vektorfeldes   beschreibt;   der   Betrag   von      Δ× A    ist   der   Betrag   der   Rotation   und   die Richtung   von      Δ× A       ist   die   Achse   dieser   Rotation   wie   durch   die   Rechte-Hand-Regel   beschrieben.   Wenn   man   sich irgend   ein   3D-Vektorfeld   vorstellt,   das   eine   Strömungsgeschwindigkeit   einer   Flüssigkeit   repräsentiert,   dann   ist   die   rot dieses   Feldes   an   einem   Punkt   angezeigt   durch   den   Weg,   den   eine   kleine   Kugel   oder   ein   Schaufelrad,   das   dort   platziert ist,   durch   den   Fluss   gedreht   wird.      In   einem   2D-Fluss   ist   einfach   zu   sehen,   dass   die   Richtung   der   Rotationsachse eines   Kreises   (das   2d-Gegenstück   zu   einer   Kugel)   im   Fluss   in   der   dritten   Dimension   sein   wird,   wie   sie   durch   die Nutzung des Kreuzproduktes beim Berechnen der rot gegeben ist. Außerdem   kann   der   Operator   Del   auf   ein   skalares   Feld   angewendet   werden.   Δ V    oder   grad   V    ist   ein   Vektorfeld, das   den   Gradient      der   Skalarfunktion   V   definiert.   ΔV   liegt   in   der   Richtung   des   maximalen   Anstiegs   der   Funktion   V . Wenn   auf   die   Potentialfunktion   angewendet,   dann   ist   grad   V    ein   Vektorfeld,   das   überall   normal   zu   den   Oberflächen gleichen Potentials ist. Die zwei nützlichen Eigenschaften des Operators rot  sind: 1 .  die Divergenz des rot  von jedem Feld ist der Nullskalar;    d.h. ,  Δ ･ (Δ × A ) = 0 2 . die   rot   des   Gradienten   jedes   Feldes   ist   der   Nullvektor;   d.h.      Δ×(Δf)   =   0   für   jede   Skalarfunktion   ist   abhängig von seiner Position, wie in f(x,y,z) Beispiel:   Zur   Visualisierung   (2)   stelle   man   sich   ein   Skalarfeld   vor   wie   ein   hügeliches   Land,   wo   die   Konturen   der konstanten   Erhebungen   über   dem   Meeresniveau   entlang   des   Grundes   „gezogen“   werden.   Die   Erhebung   “h”   würde dann   an   jedem   gegebenen   Punkt   (x,y,z)   mit   der   Position   variieren,   so   ist   sie   eine   Funktion   h(x,y,z).         Der   Gradient   del(h) würde   ein   Vektor   sein,   der,   beginnend   beim   Punkt   (x,y,z),   lotrecht   zur   Konturlinie   durch   (x,y,z)   und   gerade   den   Berg herunter   zeigt.      Man   stelle   sich   vor,   das   Wasser   fließe   den   Berg   herab   oder   welchen   Weg   eine   Murmel   rollen   würde   und das   ist   die   Richtung   in   die   der   Gradientvektor   zeigt,   immer   lotrecht   zu   den   Konturen   mit   gleicher   Erhebung   an   jedem Punkt.      Weil   diese   Vektoren   gerade   sind,   haben   sie   keine   rot    oder   Krümmung.   Deshalb   ist   mathematisch      ’ del    ×   ( del    h) = 0′. In   der   Praxis   bedeutet   das,   dass   ein   elektrisches   Feld,   in   welchem   die   Flusslinien   gerade   sind   (z.B.   zwischen den   Schichten   einer   Plasmadoppelschicht   oder   einem   Kondensator,   wenn   man   die   Grenzeffekte   ignoriert,   wo   die Linien   gerade   sind),   ein   geladenes   Teilchen   aus   seiner   Ruhe   in   gerader   Linie   beschleunigt   wird:   das   elektrische   Feld hat keine Krümmung. Vektorrechnung   wird   sogar   noch   wichtiger   bei   der Analyse   der   Interaktionen   von   Teilchen,   wenn   mehrere   Kräfte anwesend   sind,   wie   wenn   ein   geladenes   Teilchen   gleichzeitig   beide,   ein   elektrisches   Feld   und   ein   damit   verbundenes Magnetfeld   in   einem   schrägen   Winkel   betritt,   so   dass   seine   Bewegungsvektor   eine   normale   Komponente   zu   den Feldlinien   haben   kann   und   eine   andere   (“drift”)   parallel   zu   ihnen.   Die   Mathematica©-gestützten   Bilder   in   Kapitel   4, §4.3,   sind Andeutungen   der   Komplexität   von   solchen   Interaktionen   mit   nur   einem   Teilchen.         Im      Plasma   ist   die Anzahl von      Teilchen      um      zweistellige      Größenordnungen      größer      als      in      diesem      einfachsten      Fall      und      der Rückkopplungsmechanismus   und   die   komplexen   Teilchenbewegungen,   die   sich   entwickeln,   veranlassen   das   Plasma eine   Ladungstrennung   zu   schaffen   und   zu   erhalten,   Körper   mit   einem   elektrischen   Feldpotential   von   einem   Volumen von   verschiedenem   Potential   zu   trennen,   Stromflüsse   zu   erzeugen,   Teilchen   auf   relativistische   Geschwindigkeiten   zu beschleunigen   und   stark   zu   strahlen,   sich   einzuengen   und   Stromfolien   in   filamentäres,   leitendes   Plasma   einzurollen wie in Blitze, koronale Schleifen und galaktische Jets.

Bild von TRACE mit Arkaden von Stromschleifen und Protuberanzen über einer aktiven Region

der Sonne