APPENDIX II

DIE ELEKTROMAGNETISCHEN FELDGLEICHUNGEN

EINLEITUNG

Maxwells   Gleichungen   und   das   Gesetz   der   Lorentzkraft   zusammen   umfassen die    EM-Feldgleichungen,    d.h.,    jene    Feldgleichungen,    die    die    Wechselwirkungen geladener   Teilchen   in   der   Umgebung   von   elektrischen   und   magnetischen   Feldern bestimmen und die daraus resultierenden Effekte auf das EM-Feld. Für   die   Erleichterung   der   Erklärung   werden   nachfolgend   “Felder”   so   gedacht, als   ob   sie   eine   unabhängige   physikalische   Realität   besitzen   würden.      Das   tun   sie aber   nicht   wirklich.      Die   Nutzung   von   Feldern   ist   eine   Hilfe   beim   Verständnis,   wie   Kräfte   auf   wirkliche   Teilchen wirken    und    von    diesen    beeinflusst    werden    und    wie    die    Positionen    (Koordinaten)    solcher    Teilchen    zu    einem gegebenen   Zeitpunkt   existieren   können   oder   innerhalb   eines   Zeitintervalls   variieren   können.   Feldlinien   sind   auch praktische   schriftliche   Hilfen   beim   Verständnis   dessen,   was   physikalisch   vor   sich   geht   und   sind   nicht   “real”.      Ein oft   genutztes   Beispiel   sind   der   Satz   von   Linien   oder   Konturen   gleicher   Höhe   relativ   zu   einem   fixen   Referenzwert, oft   zu   finden   auf   topographischen   Karten   von   Landgebieten   und   variierende   Druckverteilungen   auf   Wetterkarten. Solche   Linien   existieren   nicht   als   physikalische   Entititäten;   sie   können   aber   für   die   Berechnung   und   Visualisierung von   einfachen   oder   komplexen   Phänomenen   benutzt   werden,   doch   sie   selber   bewirken   keine   Veränderungen   oder Positionsänderungen    oder    üben    Kraft    auf    irgendetwas    aus.        Die    Vorstellung,    dass    sie    real    seien    wird Verdinglichung   genannt.   Sie   können   aber   eine   praktische   Hilfe   beim   besseren   Verständnis   sein,   doch   es   ist inkorrekt zu sagen, dass Feldlinien irgendeiner Art real seien oder etwas “tun” würden. Die   Schlussfolgerungen   der   Maxwellschen   Gleichungen   und   der   ihr   zugrunde   liegenden   Forschungen   sind folgende: 1 . Ein   statisches   elektrisches   Feld   kann   in   Abwesenheit   eines   Magnetfeldes   existieren,      z.B.,   ein Kondensator   mit   einer   statischen   Ladung   Q   hat   ein   elektrisches   Feld   ohne   ein   magnetisches Feld. 2 . Ein   konstantes   magnetisches   Feld   kann   existieren   ohne   ein   elektrisches   Feld;   z.B.,   ein   Leiter   mit konstantem Strom I hat ein Magnetfeld ohne ein elektrisches Feld. 3 . Wo elektrische Felder zeitabhängig sind, muss ein magnetisches Feld ungleich Null existieren. 4 . Wo magnetische Felder zeitabhängig sind, muss ein elektrisches Feld ungleich Null existieren. 5 . Magnetische   Felder   können   auf   zwei   Wegen   erzeugt   werden,   außer   durch   Permanentmagnete: durch einen elektrischen Strom oder durch ein sich änderndes elektrisches Feld. 6 . Magnetische    Monopole    können    nicht    existieren;    alle    Linien    des    magnetischen    Flusses    sind geschlossene Schleifen.

DAS LORENTZKRAFT-GESETZ

Das   Gesetz   der   Lorentzkraft   drückt   die   Gesamtkraft   aus,   denen   ein   geladenes Teilchen   durch   elektrische   und magnetische   Felder   ausgesetzt   ist.   Die   resultierende   Kraft   diktiert   die   Bewegung   des   geladenen   Teilchens   durch die Newtonsche Mechanik. F = Q(E + U×B) (erinnert sei daran, Vektoren sind fett gedruckt) wobei   F    die   auf   das   Teilchen   wirkende   Lorentz-Kraft   ist,   Q   die   Ladung   des   Teilchens;   E    ist   das   elektrische Feld (und Richtung); und B  ist die magnetische Flussdichte und -richtung. Man   beachte,   dass   die   Kraft   wegen   des   elektrischen   Feldes   konstant   ist   und   in   Richtung   von      E    wirkt,   so dass    eine    konstante    Beschleunigung    in    Richtung    von        E    verursacht    wird.    Die    Kraft    ist    jedoch    wegen    der Kombination   der   Geschwindigkeit   der   Teilchen   und   dem   magnetischen   Feld      orthogonal      zur   Ebene   von      U    und   B   wegen   des   Kreuzproduktes   der   zwei   Vektoren   in   der   Vektorrechnung   (Anhang   I).   Das   magnetische   Feld   wird deshalb die Teilchen veranlassen, sich in einem Kreis in einer Ebene vertikal zum magnetischen Feld zu bewegen. Wenn   B    und   E    parallel   (wie   in   einer   Situation   feldausgerichteten   Stroms)   verlaufen,   dann   wird   ein   geladenes Teilchen,   das   sich   radial   in   Richtung   der   Felder   annähert,   gezwungen   werden,   sich   auf   einem   spiralförmigen   Pfad, ausgerichtet   in   Richtung   des   Feldes   zu   bewegen.   Das   heißt   sozusagen,   dass   das   Teilchen   sich   spiralförmig   um   die Magnetfeldlinien herum bewegt als Ergebnis der Lorentz-Kraft und in Richtung des Feldes E beschleunigt.

WEITERE DISKUSSION VON MAXWELLS GLEICHUNGEN

Die    Maxwellschen    Gleichungen    sind    das    Ergebnis    der    Vereinigung    der    experimentellen    Ergebnisse verschiedener   Pioniere   der   Elektrik   in   eine   praktische   Formel,   deren   Namen   die   einzelnen   Gleichungen   noch erhalten.   Sie   werden   mit   Mitteln   der   Vektorrechnung   ausgedrückt   und   dürfen   mit   gleicher   Gültigkeit   entweder   in der Punktform (Differential) oder in der Integralform erscheinen. Die    Maxwellschen    Gleichungen    können    als    allgemeiner    Satz    ausgedrückt    werden,    anwendbar    auf    alle Situationen    und    als    “Freiraum”-Satz,    ein    Spezialfall,    anwendbar    nur    dort,    wo    keine    Ladungen    und    keine Leitungsströme  sind.  Der allgemeine Satz ist der, der auf Plasma angewendet wird: Wo • E  ist der elektrische Feldintensitätsvektor in in Newtons/Coulomb (N/C) oder Volts/Meter (V/m) • D  ist die elektrische Flussdichte in C/m 2 ;  D = εE für ein isotropisches Medium der Permitivität ε • H  ist die magnetische Feldstärke und –richtung in Ampere/Meter (A/m) • B  ist die Magnetflussdichte in A/N･m, oder Tesla (T); B = μÊH für ein isotropisches Medium der Permeabilität μÊ • J c   ist die Stromleiterdichte in A/m 2 ;  J c  = σÐE für ein Medium der Leitfähigkeit σÐ • ρÏ  ist die Ladungsdichte C/m 3 Das    Gaußsche    Gesetz     sagt    aus,    dass    “der    elektrische    Gesamtfluss    (in    Coulombs/m2)    aus    einer geschlossenen Oberfläche gleich der Nettoladung ist, die innerhalb dieser Oberfläche eingeschlossen ist”. Per   Definition    stammt   der   elektrische   Fluss   ψ   von   einer   positiven   Ladung   und   endet   in   einer   negativen Ladung.   In   Abwesenheit   eines   negativen   Ladung   endet   der   Fluss   “im   Unendlichen”.   Wenn   mehr   Fluss   aus   der Region   erfolgt   als   in   die   Region,   dann   muss   die   Region   eine   Quelle   des   Flusses   enthalten,      d.h.      eine   positive Nettoladung. Das   Gaußsche   Gesetz   entspricht   dem   gesamten   (netto)   Ausfluss,   der   durch   eine   geschlossene   Oberfläche einer   3D-Region   (d.h.   eine   Oberfläche,   welche   die   Region   völlig   umhüllt)   zu   der   positiven   Nettoladung   innerhalb des   von   der   Oberfläche   eingeschlossenen   Raumes   fließt.   Ein   Nettofluss,   der   in   eine   geschlossene   Oberfläche fließt, deutet eine negative Nettoladung innerhalb derselben an. Man    beachte,    dass    es    nicht    von    Belang    ist,    von    welcher    Größe    die    umhüllende    Oberfläche    ist    –    der Gesamtfluss   wird   derselbe   sein,   wenn   die   eingehüllte   Ladung   dieselbe   ist.      Eine   gegebene   Menge   des   Flusses     entspringt   einer   Ladungseinheit   und   wird   in   Abwesenheit   einer   negativen   Ladung   im   Unendlichen   enden.   Im   Fall einer   isolierten   einzelnen   positiven   Ladung   wird   zum   Beispiel   jede   Kugel,   die   um   sie   gezeichnet   wird,   den   gleichen Gesamtfluss   erhalten.   Die   Fluss- Dichte    D    wird   in   dem   Umfang   reduziert   (abnehmen   pro   Flächeneinheit)   in   dem   die Fläche der Kugel zunimmt. Das   Gaußsche   Gesetz   für   Magnetismus   besagt,   dass   “   der   gesamte   Magnetfluss   aus   einer   geschlossenen Oberfläche Null ist”. Ungleich   dem   elektrischen   Fluss,   welcher   von   Ladungen   stammt   und   an   ihnen   endet,   sind   die   Linien   des Magnetflusses    geschlossene    Kurven    ohne    Anfangs-    oder    Endpunkt.    Das    ist    eine    Folge    der    Definition    der Magnetfeldstärke    H ,    die    sich    aus    einem    Strom    (siehe    Amperes    Gesetz ,    unten)    und    der    Definition    der    mit    H   verbundenen   Kraft   wie   der   magnetischen   Flussdichte   B    =   μ H    in   Tesla   (T)   oder   Newton   pro   Ampermeter   (N/Am) ergibt. Deshalb    müssen    alle    magnetischen    Flusslinien,    die    eine    Region    durch    eine    geschlossene    Oberfläche betreten,    diese    Region    an    einer    anderen    Stelle    derselben    Oberfläche    verlassen.    Eine    Region    kann    nicht irgendwelche    Quellen    oder    Senken    haben.    Das    ist    gleichbedeutend    mit    dem    Statement,    dass    magnetische Monopole nicht existieren. Amperes Gesetz mit Maxwells Korrekturen Amperes Gesetz basiert auf dem Biot-Savart-Gesetz dH = (I dl×~a r ) / 4πÎR 2 welches   besagt,   dass   “ein   Differential   ( d.h .,   ein   winziges   Segment   einer)   magnetischen   Feldstärke   d H    an jedem   Punkt   sich   aus   einem   Differential   Stromelement   I   d I      eines   geschlossenen   Strompfades   eines   Stroms   I     ergibt.   Die   magnetische   Feldstärke   verändert   sich   umgekehrt   im   Quadrat   der      Entfernung   R   vom   Stromelement   und hat   eine   Richtung,   die   durch   das   Kreuzprodukt   der   von   I   d I   und   dem   Einheitsvektor   a r           der   Linie   gegeben   ist,   die dem   Stromelement   zum   fraglichen   Punkt   beitrat.   Die   magnetische   Feldstärke   hängt   auch   von   dem   Medium   ab,   in dem sie gemessen wird. Da    Stromelemente    keine    unabhängige    Existenz    besitzen,    durchlaufen    alle    Elemente    den    gesamten Strompfad,   d.h.,   ein   geschlossener   Pfad   muss   summiert   werden,   um   den   Gesamtwert   der   magnetischen   Feldstärke an jedem Punkt zu finden. Deshalb ist: H = ∫ç (I dl×~a r ) / 4πÎR 2 wo das Integral ein geschlossenes Linienintegral ist, welches sich im Unendlichen schließen kann. Daher   wird   zum   Beispiel   ein   unendlich   langer   gerader   filamentärer   Strom   (der   sich   in   der   Unendlichkeit schließt)   ein   konzentrisches   zylindrisches   Magnetfeld   erzeugen,   dass   den   Strom   in   Übereinstimmung   mit   der Rechte-Hand-Regel mit einer abnehmenden Stärke mit zunehmender Entfernung r  vom Draht umkreist oder: H = (I/2πÎr) a r (beachte   die   Vektornotation   in   zylindrischen   Koordinaten;   die   Richtung   von   H    ist   überall   tangential   zum Kreis des Radius r) Amperes    Gesetz    kehrt    das    Biot-Savart-Gesetz    wirksam    um    und    besagt,    dass    “das    lineare    Integral    der tangentialen   Komponente   der   Magnetfeldstärke   um   einen   geschlossenen   Pfad   herum   gleich      dem   Strom   ist,   der durch den Pfad eingeschlossen wird oder ∫çH・Edl = I enc wo das Integral ein geschlossenes lineares Integral ist Alternativ ist per Definition die rot, rot   H  oder Δ× H  = J , , die Stromdichte. Das bedeutet effektiv, dass ein Magnetfeld durch einen elektrischen Strom erzeugt wird. Das   gilt   jedoch   nur   für   zeitabhängige   Ströme   und   statische   Magnetfelder.      Wenn   J c    =   σ E   ,   dann   impliziert das ebenfalls, dass das elektrische Feld konstant ist. Um    diese    Beschränkungen    zu    überwinden,    sei    es    erlaubt,    eine    zeitabhängige    Stromdichte    und    für    die korrekte   Interpretation   eine   Ausbreitung   der   der   EM-Wellen   anzunehmen.   Maxwell   führte   dazu   einen   zweiten   Term ein, basierend auf dem Verschiebungsstrom, J D , wo J D  = δÂD/δÂt sich ergibt aus der Rate der Veränderungen des elektrischen Feldes E. Maxwells   Korrektur,   wie   sie   im   überarbeiteten   Gesetz   enthalten   ist,   schreibt   vor,   dass   wegen   des   sich verändernden Flusses ein Magnetfeld entstehen wird. Faradays   Gesetz   sagt   aus,   dass,   wenn   der   magnetische   Fluss   Φ³,   mit   einer   offenen   Oberfläche   (d.h.   durch eine   Schleife)   verbunden   ist,   die   durch   eine   geschlossene   Kurve   C   begrenzt   wird   und   mit   der   Zeit   variiert,   dann existiert eine Spannung V um C herum”; speziell v = -dΦ³/dt oder, in integraler Form, ∫ç c E･dl = -d(∫ç s B･dS)/dt für eine ebene Fläche S und B  normal zu S Deshalb   ergibt   sich,   wenn   sich   B    mit   der   Zeit   verändert,   dass   es   dort   ein   E-Feld   geben   muss   oder   ein veränderliches magnetisches Feld ein elektrisches Feld erzeugt. Das   Minuszeichen   in   der   Gleichung   oben   deutet   an,   dass   Lenz   Gesetz,   namentlich   “die   Spannung,   erzeugt durch   einen   sich   verändernden   Fluss,   eine   Polarität   der Art   hat,   dass   der   in   einem   geschlossenen   Pfad   mitgeführte Strom einen Fluss ergibt, welcher sich der Änderung des Flusses widersetzt”. Im   Sonderfall   eines   Leiters,   der   sich   durch   ein   zeitlich   unabhängiges   Magnetfeld   bewegt,   ist   die   erzeugte Polarität eine solche, dass der Leiter magnetische Kräfte erfährt, die seiner  Bewegung entgegenwirken. Übersetzung H.Täger